Maxim Schostakowitsch, Sohn des Komponisten  Dmitri Schostakowitsch, wurde 1938 in Leningrad geboren. Er erhielt seine musikalische Ausbildung an der Zenralen Musikschule im Fach Klavier bei Elena Khoven und besuchte anschließend das Moskauer Tschaikowsky-Konservatorium, wo er Klavier in der Klasse von Yakov Flier und bei Gennadi Roshdestvensky und Igor Markevitch Dirigieren studierte.

Nach dem Solistenexamen wurde Schostakowitsch Assistent beim Moskauer Symphonieorchester und Dirigent des Staatlichen Akademischen Symphonieorchesters der UdSSR. 1971 wurde er zum Chefdirigenten und künstlerischen Leiters des Radio-Sinfonieorchesters der UdSSR ernannt, mit dem er ausgedehnte Konzertreisen unternahm und viele bedeutende Werke zur Uraufführung brachte, darunter auch die 15. Symphonie seines Vaters.

1981 emigrierte  Maxim Schostakowitsch zusammen mit seinem Sohn Dmitri in die USA. Bereits kurz nach seiner Ankunft gab er sein Debüt mit dem National Symphony Orchestra vor 60.000 Zuhörern auf den Stufen des Capitols in Washington.

Sein nordamerikanisches Operndebüt gab er im Juillard Opera Center, wo er mit „Lady Macbeth“ eine Oper seines Vaters dirigierte. Begeisterte Kritiken gab es auch für  „Eugen Onegin“ unter der Regie von Gian Carlo Menotti an der Washington Opera. Von 1986 bis 1991 war er Musikdirektor des New Orleans Symphony Orchestra.

Maxim Schostakowitsch dirigierte zahlreiche bedeutende Orchester in der ganzen Welt. In Europa dirigierte er u.a. das Sinfonieorchester des Bayerischen Rundfunks, das Orchester der Beethovenhalle Bonn, das London Symphony Orchestra, das City of Birmingham Symphony Orchestra,   Royal  Liverpool Philharmonic,    Göteborg Symphony Orchestra, Tonhalle Orchester Zürich, Orchestre Philharmonique de Liège, Orchesta Sinfonica de Málaga, Orchestra della Toscana, Academia Santa Cecilia Rom sowie die Rundfunkorchestern in Neapel und Turin. In Asien trat er mit den Philharmonischen Orchestern in Hongkong und Seoul, dem Yomiuri Nippon Orchestra, Kyoto Symphony, Osaka Philharmonic, Sapporo Symphony Orchestra und dem New Japan Philharmonic Orchestra auf.

Außerdem war er Gastdirigent aller führenden  amerikanischen Orchester in Boston, Chicago, New York, Cleveland, Philadelphia, Los Angeles, Detroit, Pittsburgh, Cincinnati, Atlanta, Minessota, Houston, Dallas, Toronto, Ottawa und Vancouver. In Juni 1994 besuchte er zum ersten Mal seit 1981 sein Heimatland um in St. Petersburg zu dirigieren.

Seine zahlreichen Einspielungen umfassen u.a. die folgenden Werke: Schostakowitsch Cellokonzerte Nr. 1 und 2 mit Heinrich Schiff und dem Sinfonieorchester des Bayerischen Rundfunks für Phillips Classics, Schostakowitsch Klavierkonzerte Nr. 1 und 2 mit seinem Sohn Dmitri als Solisten für Chandos Records, Klavierkonzerte von Tschajkowski und Rachmaninow mit Alexej Sultanov und dem London Symphony Orchestra für Teldec; Schostakowitsch Lieder  mit Dimiter Petkov und dem RSO Berlin für Koch/Schwann; Violinkonzerte von Barber und Schostakowitsch mit Nadja Salerno-Sonnenberg und dem London Symphony Orchestra für Angel; Cellowerke von Tschajkowski und Miaskowsky mit Julian Lloyd Webber für Phillips und Schostakowitsch Sinfonien 5,7,10 und 15 mit dem London Symphony Orchestra für Collins Classics.